拉马努金恒等式（求证高中恒等式（拉马努金恒等式））

本文目录

• 求证高中恒等式（拉马努金恒等式）
• 如何证明拉马努金恒等式
• 圆周率是如何计算导出的

求证高中恒等式（拉马努金恒等式）

证明过程如下：

3=√(1+8)

3=√(1+2√(1+3*5))

3=√(1+2√(1+3√(1+4*6)))

3=√(1+2√(1+3√(1+4√(1+5*7))))

3=....以此类推=Ramanujan恒等式。

扩展资料：

斯里尼瓦瑟·拉马努金是印度现代数学家。1887年12月22日生于印度南方坦焦尔区的埃罗德，1920年4月26日卒于马德拉斯附近。幼年时即显示出数学才能，家境贫困，1904年获奖学金入贡伯戈讷姆学院，潜心研习数学。

拉马努金恒等式是以他名字而命名的一个数学公式。N=1+(N-1)(N+1)的开方，这个很好证明，即N=（1+N的平方-1）的开方，先平方再开方，当然还是N

如何证明拉马努金恒等式

利用平方差公式和函数嵌套（复合函数）的思想，可以来说明他的正确性。虽然初中不提函数嵌套（复合函数）这种说法，但“整体思想”已经具备其雏形，所以上述证明过程，数学程度稍好的同学也可以看懂。

拉马努金没有受过正规的高等数学教育，但他靠自学沉湎于数论，尤其钟爱涉及π、质数等数学常数的求和公式和整数分拆。特别是他对数的直觉（数感）常常令人称奇，以至于亦师亦友的哈代感叹说：“我们学习数学，拉马努金则发现并创造了数学。”

斯里尼瓦瑟·拉马努金是印度现代数学家。1887年12月22日生于印度南方坦焦尔区的埃罗德，1920年4月26日卒于马德拉斯附近。幼年时即显示出数学才能，家境贫困，1904年获奖学金入贡伯戈讷姆学院，潜心研习数学。

拉马努金恒等式是以他名字而命名的一个数学公式。

圆周率是如何计算导出的

中国，最初在《周髀算经》中就有“径一周三”的记载，取π值为3。 　　魏晋时，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法（即“割圆术”），求得π的近似值3.1416。 　　圆周率汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方（约为3.162）。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的。 　　公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。 　　印度，约在公元530年，数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为√9.8684。 　　婆罗门笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。欧洲　　斐波那契算出圆周率约为3.1418。 　　韦达用阿基米德的方法，算出3.1415926535《π《3.1415926537 　　他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。 　　鲁道夫万科伦以边数多过32000000000的多边形算出有35个小数位的圆周率。 　　华理斯在1655年求出一道公式π/2=2×2×4×4×6×6×8×8...../3×3×5×5×7×7×9×9...... 　　欧拉发现的e的iπ次方加1等于0，成为证明π是超越数的重要依据。 　　之后，不断有人给出反正切公式或无穷级数来计算π，在这里就不多说了。 习一文一乐，便入安宁万世；知思远思小，人才话中有力。本段π与电脑的关系　　圆周率在1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Interator and Computer）在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。 　　在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。之后，不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。目前为止，π的值己被算至小数点后 　　兆万千百十亿千百十万千百十个　（US) 　　亿亿亿亿　万万万　（美国） 　　60000000000001　（IBM蓝色基因）　 　　个位。为什么要继续计算π　　其实，即使是要求最高、最准确的计算，也用不着这么多的小数位，那么，为什么人们还要不断地努力去计算圆周率呢? 　　第一，用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错，这就表示硬体有毛病或软体出了错，这样便需要进行更改。同时，以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争，科技也能得到进步，从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式，也是由研究圆周率的推动，从而发展出来的。 　　第二，数学家把π算的那么长，是想研究π的小数是否有规律。 　　比如，π值从第700100位小数起，连续出现7个3，即3333333，从第3204765位开始，又连续出现7个3。 　　现在大家就会问，π只具备这样一种特殊性质吗？不是的。计算方法　　圆周率古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 　　1、马青公式 　　π=16arctan1/5-4arctan1/239 　　这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 　　还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。 　　2、拉马努金公式 　　1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 　　1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是： 　　3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法 　　高斯-勒让德公式： 　　圆周率这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。 　　4、波尔文四次迭代式： 　　这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。 　　5、bailey-borwein-plouffe算法 　　这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发丘德诺夫斯基公式表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。 　　6．丘德诺夫斯基公式 　　这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本： 　　7．莱布尼茨公式 　　π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……